Question

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию

y'=x^2+y^2-e^x y(0)=0

Answer 1

Ответ:

$y = - x - \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{ 3} }{2}$

пошаговое объяснение:

разложение в ряд Маклорена:

у=y(0)+y'(0)x/1!+y''(0)x²/2!+y'''(0)x³/3!+...

y'(0)=0²+0²-e^0=-1

y''=2x+2yy'-e^x

y''(0)=2*0+2*0*(-1) -e^0=-1

y'''=2+2(y')²+2yy''-e^x

y'''(0)=2+2*(-1)²+2*0*(-1)-e^0=3

y=0-1*x/1! -1*x²/2! +3*x³/3! =-x-x²/2+x³/2

Answer 2

$y'(0)=0-0-e^0=-1\\ y'=x^2+y^2-e^x=>y''=2x+2y*y'-e^x=>\\ =>y''(0)=0+0-e^0=-1\\ y''=2x+2y*y'-e^x=>y'''=2+2*y'*y'+2y*y''-e^x=>\\ =>y'''(0)=2+2*(-1)*(-1)+0-e^0=2+2-1=3$

Тогда искомое разложение имеет вид

$y\approx (-1)*\dfrac{x}{1!}+ (-1)*\dfrac{x^2}{2!}+ 3*\dfrac{x^3}{3!}+...=-x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}+...$