Question

Два кола, радіуси яких дорівнюють R і r(r < R), дотикаються зовні. Знайдіть радіус більшого з кіл, що дотикаються до цих кіл та їхньої спільної зовнішньої дотичної.

Answer 1

Позначимо шуканий радіус як t.

З'єднавши центри кіл, та провівши від них перпендикуляри до дотичної, отримаємо прямокутну трапецію, основи якої дорівнюють R та r, а похила бічна - R + r.

Бічна що залишилась, знаходиться з допомогою теореми Піфагора: $\sqrt{(R+r)^2 - (R-r)^2} = 2\sqrt{Rr}$

Всередині основної трапеції, є дві менших, з основами R і t, та r і t. Їх похилі, відповідно рівні R + t та r + t.

Тепер використовуючи все ту ж теорему Піфагора, зіставляємо рівняння:

$2\sqrt{Rt} + 2\sqrt{rt} = 2\sqrt{Rr}$

$\sqrt{t}(\sqrt{R} + \sqrt{r}) = \sqrt{Rr}$

$\sqrt{t} = \frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R} + \sqrt{r}}$

$t = \frac{Rr}{(\sqrt{R} + \sqrt{r})^2}$

Ось і наш радіус.