Question

Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой 6 см, а высота 10 см.

Answer 1

Ответ:

12(3+√109) см²

Объяснение:

Высота пирамиды проецируется в центр вписанной окружности ( с радиусом r), поскольку расстояние от вершины пирамиды до сторон основания равны

S осн = 6*6=36 см²

S б = 1/2*Ро*k,     Ро=6*4=24 см

S б =1/2*24*√109=12√109 см²

r=  6/2=3 ( в квадрате радиус впис. окружности равен половины стороны квадрата)  

 k=√109=$\sqrt{9+100}$ - апофема ( расстояние от вершины пирамиды до стороны основания)

S полное = 36 +12√109=12(3+√109) см²

Answer 2

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида $FABCD$.

$AB=6$ (см).

$FG=10$ (см).

Найти:

$S_{(n. \: no_Bepx.)}=?$ (см²).

Решение:

$\boxed{S_{(n. \: no_Bepx.)}=S_{(oc_Ho_B.)}+S_{(6o_K. \: no_Bepx.)}}$

Значит сначала мы должны найти площадь основания пирамиды, а затем площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, поэтому $S_{(_k_B.)}=a^2=6^2=36$ (см²).

• Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды - полупроизведение периметра основания на апофему.

Значит нам нужно сначала найти апофему нашей пирамиды.

• 1 правило: Апофема делит сторону основания пополам.
• 2 правило: Катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.

Объяснение 1 правила: из этого следует, что апофема $FH$ делит сторону основания $DC$ так, что $DH=HC=\dfrac{6}{2}=3$ (см).

Объяснение 2 правила: внутри нашей пирамиды образовался прямоугольный $\triangle FGH$, где $FG$ - катет прямоугольного тр-ка (высота пирамиды); $GH$ - катет прямоугольного тр-ка; $FH$ - гипотенуза прямоугольного тр-ка (апофема пирамиды). По данному правилу можно сказать, что $DH=HC=GH=3$ (см).

Так как апофема $FH$ нашей пирамиды является ещё и гипотенузы прямоугольного $\triangle FGH$, то мы сможем найти её величину по т.Пифагора:

$FH=\sqrt{FG^2+GH^2}=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{100+9}=\sqrt{109}$ (см).

Теперь найдём периметр основания (квадрата):

$P=4a=6\cdot4=24$ (см).

Затем найдём площадь боковой поверхности:

$S_{(6ok. \: no_B.)} =P_{(oc_Ho_B.)}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot FH=24\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{109}=12\sqrt{109}$ (см²).

Остаётся найти ответ на вопрос: "Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?"

$S_{(n. \: no_Bepx.)}=\boxed{36+12\sqrt{109}}$ (см²).

Ответ: $\boxed{S_{(n. \: no_Bepx.)}=36+12\sqrt{109}}$ (см²).