Question

Найдите частное решение линейного дифференциального уравнения:

Answer 1

$y'+\dfrac{y}{x}=\sin x~~~~~\bigg|\cdot x\ne 0\\ \\ y'x+y=x\sin x\\ \\ (y\cdot x)'=x\sin x\\ \\ yx=\displaystyle \int x\sin xdx=\left[\begin{array}{ccc}u=x;~ du=dx\\ \\ dv=\sin xdx;~ v=-\cos x\end{array}\right] =-x\cos x+\\ \\ \\ +\int\cos xdx=-x\cos x+\sin x+C\\ \\ \\ y=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x}$

Находим частное решение, подставляя начальные условия

$\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{\pi+C}{\pi};\\ \\ C=1-\pi$

$y=\dfrac{\sin x-x\cos x+1-\pi}{x}$ — частное решение