Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! Дан вектор a(-1;2;2). Найдите координаты вектора b, коллинеарного вектору a, если a*b = 27. найдите угол между векторами a и c, если a*c = -6; c = 4

Answer 1

Ответ: b = (-3,6,6), b (3; -6; -6), α = -60⁰

Пошаговое объяснение:

Дан вектор a(-1;2;2). Найдите координаты вектора b, коллинеарного вектору a, если a·b = 27.

Решение:

Скалярное произведение векторов а и b определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними!

Поскольку векторы коллинеарные, то угол между ними равен 0 градусов, т. е косинус угла равен 1.

         

Длина вектора a равна  

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

По условию задания  скалярное произведение векторов равно 27

                       

Зная длину вектора а найдем длину вектора b

                     $3\cdot|\overrightarrow{b}|=27\Leftrightarrow|\overrightarrow{b}|=9$

Поскольку вектора а и b коллинеарны, то и координаты связаны уравнением

Подставим координаты вектора а

$\frac{b_x}{-1} =\frac{b_y}{2} = \frac{bz}{2}= k$

Запишем координаты вектора b через новую переменную k                  bx = -k, by =2k, bz = 2k

                 b = (-k,2k,2k)    

Определим длину вектора и по теореме Пифагора

Так как длину вектора b мы знаем из скалярного произведения то  

                          3|k| = 9

      k₁ = 3     k₂=-3

Получили два варианта вектора b

Для k = 3

b = (-3,6,6)

Для k = -3

b (3; -6; -6)

Найдем угол между векторами a и c из формулы скалярного произведения, если a*c = -6; c = 4

$cos(\alpha) =\frac{a \cdotb}{|a| \cdot|b|}=\frac{-6}{3\cdot4}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$

α = arccos(-0,5) = -60⁰