Question

Срочно!Нужна помощь с решением по математике,10-11 класс
Даю 70 баллов!
1. Найдите производные функций:
а) f(x) = 5х4 + 3х2 – 8х – 9; б) g(x) = ; в) q(x) = ; г) u(x) = sin 5x
2. Найдите угол между касательной к графику функции f(x)= в точке х0=2 и осью ОХ.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2-1 в точке х0=-1.

Answer 1

1.

$1) f'(x)=(5x^4+3x^2-8x-9)'=5(x^4)'+3(x^2)'-8(x)'-9'=5\cdot4x^3+3\cdot2x-8\cdot1-0=20x^3+6x-8.$

$2)g'(x)=(\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x})'=(x^{-1}\cdot x^{1/2})'=(x^{-1+1/2})'=(x^{-1/2})'=-\frac{1}{2}x^{-1/2-1}=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^3}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

Отмечу, что можно было найти производную и по-другому, банально использовав правило дифференцирования произведения:

$(\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x})'=(\frac{1}{x})'\cdot\sqrt{x}+(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}\cdot\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{\sqrt{x}}{x^2}+\frac{\sqrt{x}}{2x\cdot x}=\frac{-2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2x^2}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

Можно было и по правилу дифференцирования частного, но его я расписывать не буду.

$3)g'(x)=(\frac{2-3x}{3x+2})'=\frac{(2-3x)'(3x+2)-(2-3x)(3x+2)'}{(3x+2)^2}=\frac{-3(3x+2)-(2-3x)\cdot3}{(3x+2)^2}=\frac{-9x-6-6+9x}{(3x+2)^2}=\frac{-12}{(3x+2)^2}=-\frac{12}{(3x+2)^2}$

$4)u'(x)=(\sin5x)'=\cos5x\cdot(5x)'=5\cos5x$

3. Уравнение касательной $y$ к графику произвольной функции $f(x)$ в точке  $x_0$ имеет следующий вид:

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

Во-первых, $f(x_0)=f(-1)=(-1)^2-1=1-1=0.$

Во-вторых, ищем производную: $f'(x)=(x^2-1)'=(x^2)'-1'=2x-0=2x.$

В-третьих, $f'(x_0)=f'(-1)=2\cdot(-1)=-2.$

Подставляем данные и составляем искомое уравнение:

$y=-2[x-(-1)]+0=-2(x+1)=-2x-2.$

ОТВЕТ: -2x - 2.