Question

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость(теорема Лейбница. Знакочередующиеся ряды)

Answer 1

$\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}}$ — знакочередующийся ряд, поскольку функция косинус при различных $n$ является знакопеременной.

1) Находим ряд из абсолютных величин:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \left| \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} \right| = \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n)|}{3^{n}}$  — знакоположительный числовой ряд

2) Исследуем ряд на сходимость.

Здесь $\displaystyle u_{n} = \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n) | }{3^{n}}$ и $\displaystyle u_{n+1} = \dfrac{(n+1)^{2}| \cos (\pi (n+1)) | }{3^{n+1}}$

Находим предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \dfrac{(n+1)^{2}| \cos (\pi (n+1)) | }{3^{n+1}}}{\dfrac{n^{2}| \cos (\pi n) | }{3^{n}}} = \left|\begin{array}{ccc}n + 1 \sim n\\n \to \infty \\\end{array}\right| =$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}|\cos (\pi n + \pi)| \cdot 3^{n}}{n^{2}|\cos (\pi n)| \cdot 3^{n} \cdot 3} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|\cos (\pi n)|}{|\cos (\pi n)| \cdot 3} = \dfrac{1}{3} < 1$

По признаку Даламбера ряд из абсолютных величин $\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n)|}{3^{n}}$ расходится.

3) Теорема Лейбница:

$1) \ u_{1} > u_{2} > u_{3} > ...$

$2) \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} = |-1 \leq \cos(\pi n) \leq 1| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}}{3^{n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n^{2})'}{(3^{n})'} =$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{3^{n} \ln 3} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n)'}{(3^{n} \ln 3)'} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{3^{n}\ln^{2}n} = \left\{\dfrac{2}{\infty} \right\} = 0$

Условия выполнены, значит, знакочередующийся ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}}$ является условно сходящимся.

Ответ: условно сходящийся.