Question

СРОЧНО СРОЧНО СРОЧНО
Решите уравнение методом перехода к новому уравнению:
$log_{\sqrt{3} } \frac{x-2}{2x-4} = log_{\sqrt{ 3} } \frac{x+1}{x+2}$
Решите иррациональное неравенство:
$\sqrt{x^{2} -9} + \sqrt{x+3} \geq \sqrt{x^{2} +6x+9}$
Решите систему уравнений методом подстановки:
$\left \{ {{x=2y} \atop {log_{\frac{1}{3} } (2y+x)} +log _{\frac{1}{3} } (x-y+1)=log _{3}\frac{1}{y+1} } \right.$

Answer 1

1.

$\log_{\sqrt3}\dfrac{x-2}{2x-4}=\log_{\sqrt3}\dfrac{x+1}{x+2}$

Основания логарифмов одинаковые √3:

$\dfrac{x-2}{2(x-2)}=\dfrac{x+1}{x+2};\ \ \ \ x\neq2;\ \ \ x\neq-2\\\\\\\dfrac 12=\dfrac{x+1}{x+2};\ \ \ \ x\neq2;\ \ \ x\neq-2\\\\2(x+1)=x+2\\\\2x+2=x+2;\ \ \ \boldsymbol{x=0}$

Проверка:

$x=0; \ \ \ \ \log_{\sqrt3}\dfrac{0-2}{2\cdot0-4}=\log_{\sqrt3}\dfrac{0+1}{0+2}\\\\\log_{\sqrt3}\dfrac{-2}{-4}=\log_{\sqrt3}\dfrac12\\\\\log_{\sqrt3}\dfrac12=\log_{\sqrt3}\dfrac12$

Ответ:  0

===============================

$\sqrt{\big x^2-9}+\sqrt{\big x+3}\geq \sqrt{\big x^2+6x+9}\\\\\sqrt{\big(x-3)(x+3)}+\sqrt{\big x+3}- \sqrt{\big (x+3\big)^2}\geq 0\\\\\sqrt{\big x+3}\left(\sqrt{\big x-3}+1- \sqrt{\big x+3}\bigg)\geq 0$

ОДЗ:   $\displaystyle\left \{ {{x+3\geq0} \atop {x-3\geq0}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{x\geq3}}$

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательное, поэтому произведение будет неотрицательным в случае, если значение в скобках тоже будет неотрицательным.

$\sqrt{\big x+3}\geq0\ \ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{\big x-3}+1-\sqrt{\big x+3}\ \geq0\\\\~~~~~\sqrt{\big x-3}+1\geq\sqrt{\big x+3}$

Обе части неравенства неотрицательные, можно возвести во вторую степень, сохранив знак неравенства.

$\bigg(\sqrt{\big x-3}+1\bigg)^2\geq\sqrt{\big x+3}^2\\\\x-3+2\sqrt{\big x-3}+1\geq\big x+3\\\\2\sqrt{\big x-3}\geq x+3-x+3-1\\\\2\sqrt{\big x-3}\geq 5\ \ \ \bigg|()^2\\\\4\cdot(x-3)\geq25\\\\4x\geq37;\ \ \ \ \boxed{\boldsymbol{x\geq9,25}}$

С учетом ОДЗ ответ:  x ∈ [9,25; +∞)

===============================

$\displaystyle\left \{ {{x=2y} \atop {\log_{\frac 13}(2y+x)+\log_{\frac 13}(x-y+1)=\log_3\dfrac1{y+1}}} \right. \\\\\left \{ {{x=2y} \atop {\log_{\frac 13}(2y+2y)+\log_{\frac 13}(2y-y+1)=\log_{\frac 13}\left(\dfrac 1{y+1}\right)^{-1}}}} \right.\\\\ \left \{ {{x=2y} \atop {\log_{\frac 13}(4y)+\log_{\frac 13}(y+1)=\log_{\frac 13}(y+1)}} \right. \\\\ \left \{ {{x=2y} \atop {\left {{\log_{\frac 13}(4y)=0} \atop {4y>0;\ y+1>0}} \right. }} \right.$

$\displaystyle\left \{ {{x=2y} \atop {\left {{4y=\left(\dfrac13\right)^0} \atop {y>0}} \right. }} \right.\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left \{ {{x=2y} \atop {\left {{4y=1} \atop {y>0}} \right. }} \right.\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left \{ {{x=2y} \atop {\left {{y=0,25} \atop {y>0}} \right. }} \right.$

$\displaystyle\left \{ {{x=2y} \atop {y=0,25}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left \{ {{x=0,5} \atop {y=0,25}} \right.$

Ответ: (0,5; 0,25)