Question

Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 часов работы, равна 0.2. Какова вероятность того, что из 5 лам не менее 3 останутся исправными после 1000 часов работы?

Answer 1

Для начала найдём вероятность того, что лампа будет исправной после 1000 часов работы:

$1-0.2=0.8$

Дальше будем применять формулу Якоба Бернулли. Она заключается в том, что вероятность того, что событие А наступит ровно k раз из n равна:

$\displaystyle P(k) = C_n^k\, p^kq^{n-k}$

Где  n - общее кол-во опытов; k - количество опытов, в которых произошло событие A; p - вероятность положительного исхода (в нашем случае это вероятность, что лампочка останется исправной, значит p=0.8); q - вероятность отрицательного исхода (в нашем случае это вероятность, что лампочка останется неисправной, значит q=0.2); $C_n^k$ - сочетание из n элементов по k.

Важно! Выбор того, положительный исход или отрицательный зависит от того, что нам нужно найти. Например, если бы нам требовалось найти вероятность того, что лампы останутся неисправными, то мы бы брали p=0.2; q=0.8

Итак, по условию нам нужно найти вероятность, что не менее трёх ламп останутся исправными, значит нас удовлетворяют варианты, когда 3, 4, 5 ламп останутся исправными. Тогда искомая вероятность будет равна:

$P=P(3)+P(4)+P(5)$

Каждую из вероятность $P(3),\, P(4),\, P(5)$ найдём отдельно по формуле Бернулли:

1) Найдём $P(3)$, тогда k=3; n=5; p=0.8; q=0.2

$\displaystyle P(k) = C_n^k\, p^kq^{n-k}\\\\\\\displaystyle P(3) = C_5^3\times 0.8^3\times0.2^{2}=\frac{5!}{2!\times 3!} \times 0.512\times 0.04=\\\\\\=\frac{4\times 5}{2}\times 0.02048=0.2048$

2) Найдём $P(4)$, тогда k=4; n=5; p=0.8; q=0.2

$\displaystyle P(k) = C_n^k\, p^kq^{n-k}\\\\\\\displaystyle P(4) = C_5^4\times 0.8^4\times0.2^{1}=\frac{5!}{1!\times 4!} \times 0.4096\times 0.2=\\\\\\=5\times 0.08192=0.4096$

3) Найдём $P(5)$, тогда k=5; n=5; p=0.8; q=0.2

$\displaystyle P(k) = C_n^k\, p^kq^{n-k}\\\\\\\displaystyle P(5) = C_5^5\times 0.8^5\times0.2^{0}=\frac{5!}{0!\times 5!} \times 0.32768\times 1=\\\\\\=1\times 0.02048=0.32768$

Теперь мы можем найти искомую вероятность:

$P=P(3)+P(4)+P(5)\\P=0.2048+0.4096+0.32768=0.94208$

Ответ: вероятность того, что из 5 лам не менее 3 останутся исправными после 1000 часов работы равна 0.94208