Question

Практическое задание. Вычисление значений тригонометрических выражений

Answer 1

Решение:

1).

$\tan ^2 \alpha = \dfrac{\sin ^2 \alpha }{\cos ^2 \alpha}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \\ \\ \dfrac{4}{5}+\cos ^2 \alpha = 1 \\ \\ \cos ^2 \alpha = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{5-4}{5}=\dfrac{1}{5} \\ \\ \Rightarrow \tan ^2 \alpha = \dfrac{4}{5}:\dfrac{1}{5}=0,8:0,2=8:2=4$

2).

$\cot ^2 \alpha = \dfrac{\cos ^2 \alpha }{\sin ^2 \alpha}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \\ \\ \sin ^2 \alpha + \dfrac{3}{5}=1 \\ \\ \sin ^2 \alpha = 1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{5-3}{5}=\dfrac{2}{5} \\ \\ \Rightarrow \cot ^2 \alpha = \dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{5}=0,6:0,4=6:4=1,5$

3).

$\tan \alpha + \cot \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha}= \\ \\ =1:(-\dfrac{2}{5})=1:(-0,4)=10:(-4)=-2,5$

4).

$\cot \alpha + \tan\alpha = \dfrac{2}{\sin 2\alpha} \\ \\ \Rightarrow \dfrac{2}{\sin 2\alpha}=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2}{-0,2}=\dfrac{20}{-2}=-10}$

Ответ: $1)\tan ^2 \alpha = 4; \\ 2)\cot ^2 \alpha = 1,5; \\ 3) \cot \alpha + \tan \alpha = -2,5; \\ 4) \cot \alpha + \tan \alpha =-10$