Question

Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}<\int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{x\sqrt{x}}=\int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{x^{3/2}}$

Интеграл $\displaystyle \int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{x^{3/2}}$ сходится, тогда сходится $\displaystyle \int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}$ (по первому признаку сравнения).

Второй способ. (вычисление определённого интеграла)

$\displaystyle \int\limits^\infty_1\dfrac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}=2\int\limits^\infty_1\dfrac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2}=2{\rm arctg}\sqrt{x}\bigg|^\infty_1=2\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$