Question

Выполнить действия $\frac{z_1}{z_2}$, z₁³ в тригонометрической форме с числами z₁=$\sqrt{3} +i$, z₂= -3-3i.

Answer 1

Переведем числа в тригонометрическую форму:

$z_1=\sqrt{3} +i$

$|z_1|=\sqrt{(\sqrt{3} )^2+1^2} =2$

$\arg z_1=\mathrm{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{\pi}{6}$

$\Rightarrow z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} +i\sin\dfrac{\pi}{6} \right)$

$z_2=-3-3i$

$|z_2|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2} =3\sqrt{2}$

$\arg z_2=\mathrm{arctg}\dfrac{-3}{-3}-\pi=\dfrac{\pi}{4} -\pi=-\dfrac{3\pi}{4}$

$\Rightarrow z_2=3\sqrt{2} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \right)$

Для деления используется следующая формула:

$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\rho_1}{\rho_2} \left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)$

$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{2}{3\sqrt{2} } \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\right)$

$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$

$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}\right)\right)$

$\boxed{\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\dfrac{11\pi}{12}+i\sin\dfrac{11\pi}{12}\right)}$

Для возведения в степень используется следующая формула:

$z^3=\rho^3 \left(\cos3\varphi+i\sin3\varphi\right)$

$z_1^3=2^3\left(\cos\left(3\cdot\dfrac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(3\cdot\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$

$\boxed{z_1^3=8\left(\cos\dfrac{\pi}{2} +i\sin\dfrac{\pi}{2} \right)}$