Question

Исследовать функцию z = 1/2xy + (47 - x - y)(x/3 + y/4) на экстремум

Answer 1

$z = \dfrac{1}{2} xy + (47 - x - y)\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} \right) = \dfrac{1}{2} xy + \dfrac{47}{3}x + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{xy}{4} - \dfrac{xy}{3} - \dfrac{y^{2}}{4} =$

$= -\dfrac{1}{12} xy + \dfrac{47}{3}x - \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{y^{2}}{4}$

1) Необходимые условия экстремума:

$z'_{x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x$

$z'_{y} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y$

$\displaystyle \left \{ {{ -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x = 0} \atop { -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y = 0}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{12}y = \dfrac{47}{3} \ \ \ | \cdot 12} \atop { \dfrac{1}{12}x + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{47}{4} \ \ \ |\cdot 12}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{8x + y = 188} \atop {x + 6y = 141}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y = 188 - 8x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x + 6(188 - 8x) = 141}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y=20} \atop {x=21}} \right.$

Таким образом, $M(21; \ 20)$ — стационарная точка.

2) Достаточные условия экстремума:

$A = z''_{xx} \bigg|_{M}= -\dfrac{2}{3}; \ \ \ B = z''_{xy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{12}; \ \ \ C = z''_{yy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{2}$

Составим матрицу $H = \left(\begin{array}{ccc}A&B\\B&C\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{12} \\ \\-\dfrac{1}{12}& -\dfrac{1}{2} \\\end{array}\right)$

Тогда $\Delta_{1} = A = -\dfrac{2}{3} < 0$ и $\Delta_{2} = AC - B^{2} = -\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) - \left(-\dfrac{1}{12} \right)^{2} = \dfrac{47}{144} > 0$

По критерию Сильвестра точка $M(21; \ 20)$ является точкой локального максимума.

$z = z_{\max} (21; \ 20) = \dfrac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 + (47 - 21 - 20)\left(\dfrac{21}{3} + \dfrac{20}{4} \right) = 282$

Ответ: $z = z_{\max} (21; \ 20) = 282$