Question

1) x^2y'+y^2=0, если y=1 при x=-1
2) xy'+y=3
3) xy'+y=x+1, y(1)=0
4) xy'-y=3
5) y''-4y'+3y=0
6) ay''+by'+cy=d , a=3, b=5, c=2, d=8, y(0)=6, y'(0)=-4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) $x^2y' +y^2 = 0, y(-1)=1.$

$x^2\frac{dy}{dx} = -y^2;$

Разделим переменные. При этом мы можем потерять решение $y=0$, но т.к. оно не удовлетворяет дополнительному условию, то оно не будет являться искомым решением.

$-\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} => \int -\frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x}+C.$ Используем дополнительное условие для определения константы:

$\frac{1}{1}=-\frac{1}{-1} + C => 1 = 1 +C => C =0 => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} => y=-x$

Ответ: $y=-x$

2) $xy'+y=3$. Так как это уравнение является линейным неоднородным, то решение можно искать в виде суммы общего решения линейного однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнений: $y=y_o +\bar y$

Рассмотрим однородное уравнение:

$xy'+y = 0 => xy'=-y => \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} => \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} => \ln|y|=-\ln|x|+\ln|C| => \ln|y|=\ln|\frac{C}{x}| => y_o=\frac{C}{x}$

(модули можно опустить без знака плюс-минус в следствие произвольности постоянной С. При делении на y мы могли потерять решение y=0, но оно входит в семейство кривых при С=0)

Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: $\bar y= 3$

Следовательно, общее решение исходного уравнения: $y = \frac{C}{x} + 3$

Ответ: $y=\frac{C}{x}+3, C - const$

3) $xy' + y = x+1, y(1) =0$

Данное уравнение отличается от предыдущего только неоднородностью, поэтому нужно просто подобрать другое частное решение, удовлетворяющее неоднородности. Имеет смысл ее искать в виде: $\bar y= Ax+B$, подставим его в уравнение:

$Ax + Ax + B = x +1;$

$2Ax + B = x + 1;$

Два полинома тождественно равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:

$2A = 1, B=1 => A=\frac{1}{2}, B=1 => \bar y = \frac{x}{2}+1$

Следовательно, общее решение исходного уравнения: $y= \frac{C}{x} +\frac{x}{2}+1$

Найдем константу из дополнительного условия:

$y(1)=C + \frac{1}{2}+1 = 0 => C = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1$

Ответ: $y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1$

4) $xy'-y=3.$

Применим алгоритм из пункта 2

$xy'-y = 0 => \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} => \ln|y|=\ln|Cx| => y_o=Cx$

Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: $\bar y = -3$

Следовательно, общее решение исходного уравнения: $y= Cx-3$

Ответ: $y=Cx-3, C - const$

5) $y''-4y'+3y=0.$

Имеем дело с линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его частные решения ищутся в виде: $y = e^{kx}$. Тогда характеристическое уравнение есть

$k^2-4k+3 =0 => (k-1)(k-3) =0 => k_1=1, k_2=3.$

Общее решение такого уравнения записывается в виде линейной комбинации линейно независимых частных решений, экспоненты с неравными показателями являются линейно независимыми:

$y=C_1e^x+C_2e^{3x}$

Ответ: $y=C_1e^x+C_2e^{3x}, C_{1,2} - const$

6) $3y''+5y'+2y=8, y(0)=6, y'(0)=-4$

Общее решение является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Рассмотрим однородное: $3y''+5y'+2y=0$

Характеристическое уравнение: $3k^2+5k+2=0 => 3(k+1)(k+\frac{2}{3})=0 => k_1=-1, k_2=-\frac{2}{3}$

$y_o = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x/3}$

Частное решение легко угадывается: $\bar y = 4$

Общее решение: $y= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x/3}+4$

Определим постоянные из дополнительных условий:

$\left \{ {{y(0)=C_1+C_2+4=6} \atop {y'(0)=-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1+C_2=2} \atop {-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1=8} \atop {C_2=-6}} \right. => y = 8e^{-x} -6e^{-2x/3}+4$

Ответ: $y=8e^{-x}-6e^{-2x/3}+4$