Question

Определите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, если её высота 5 см, а площадь боковой поверхности 45. Помогите пожалуйста

Answer 1

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.        

$S_{\tt bok }(SABCD) = 45$ (см²).

$SH = h = 5$ (см).

Найти:

$a$ - сторону основания.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

$\displaystyle S_{\tt bok} = 2ab$, где $a$ - сторона основания и $b$ - апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины).

Попробуем выразить $b$ через $a$ (сторону основания) и $h=5$ (см) (высоту пирамиды).

Рассмотрим прямоугольный $\triangle SHM$ (где $M$ - середина $AB$). В нем $SH=5$ (см), а $MH = a/ 2$ (см) (как половина стороны квадрата, равной $a$ см).

По теореме Пифагора:

$\displaystyle SH^2+MH^2=SM^2\\\\5^2 + \bigg ( \frac{ a }{2} \bigg )^2 = b^2 \\\\25 + \frac{a^2}{4} = b^2 \\\\b = \sqrt{\frac{a^2+100}{4} }$

Все это подставляем в уравнение площади боковой поверхности (при возведении в квадрат держим в голове, что $a$ - неотрицательное):

$\displaystyle S_{\tt bok} = 2ab \\\\45 = 2 \cdot a \cdot \sqrt{ \frac{a^2+100}{4} } \\\\2025 = 4 \cdot a^2 \cdot \frac{a^2+100}{4} \\\\2025 = a^2 \cdot (a^2 + 50)$

Пусть $a^2=t$:

$\displaystyle 2025 = t(t + 100)\\\\t^2 + 100t - 2025=0 \\\\t_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{ -100 + \sqrt{18100} }{2} = -50 +{5\sqrt{181} } > -50 + {5\sqrt{169} } > 0 \\\\t_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{ -100 - \sqrt{18100} }{2} = -50 -{5\sqrt{181} } < 0$

Второй корень нам не подходит по причине отрицательности. Значит:

$\displaystyle a = \sqrt{ {5\sqrt{181}}-50}$

Задача решена!

Ответ:   $\displaystyle \sqrt{ {5\sqrt{181}}-50}$ или около $4,16$ (см).