Question

[30б] Помогите решить, пожалуйста!

Вычислите :
2/(5*10*15) + 2/(5*15*20) + 2/(5*20*25) + ... + 2/(5*95*100)

Заранее спасибо!

Answer 1

Заметим, что искомую сумму можно упростить вынесением некоторых множителей за скобку (первым переходом мы просто выносим за скобку $2/5$, а вторым - замечаем, что каждое из двух полученных в знаменателе множителей делится на $5$):

$\displaystyle \frac{2}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \frac{2}{5 \cdot 15 \cdot 20} + \frac{2}{5 \cdot 20 \cdot 25} + ... + \frac{2}{5 \cdot 95 \cdot 10} = \\\\= \frac{2}{5} \cdot \bigg ( \frac{1}{10 \cdot 15} + \frac{1}{15 \cdot 20} + \frac{1}{20 \cdot 25} + ... + \frac{1}{95 \cdot 100} \bigg ) =\\\\= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{25} \cdot \bigg (\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20} \bigg )$

Получившуюся в скобках сумму посчитать проще:

$\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20} = \\\\= \bigg (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \bigg ) + \bigg (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \bigg ) + \bigg (\frac{1}{4} - \frac{1}{5} \bigg ) + ... + \bigg (\frac{1}{19} - \frac{1}{20} \bigg ) =\\\\= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{19} - \frac{1}{20} = \\\\= \frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{9}{20}$

Осталось вспомнить умножение обыкновенных дробей:

$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{25} \cdot \bigg (\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20} \bigg ) = \\\\= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{9}{20} = \frac{9}{5 \cdot 25 \cdot 10} = \boxed {\frac{9}{1250} }$

То есть, Вы и так все решили верно!