Question

Если y(x) решение дифференциального уравнения y'= (y-1)/x удовлетворяющее условию y(2)=3,тогда у(1) равно... Чему равно?

Answer 1

Сначала получаем общее решение дифференциального уравнения:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x} \\ \frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x}$

Берём неопределённые интегралы от обеих частей:

∫dy/(y–1) = ∫dx/x

$ln(y - 1) = ln(x) + c = ln(x) + ln(c) = ln(xc) \\ {e}^{ln(y - 1)} = {e}^{ln(xc)} \\ y - 1 = xc \\ y = xc + 1$

Подставляем условие у(2)=3, чтобы найти константу с:

$y = 2c + 1 = 3 \\ 2c = 2 \\ c = 1$

Зная, чему равна с, найдём искомое у(1):

$y = x + 1 \\ y(1) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2.