Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 72 м, боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30°. Вычисли высоту пирамиды.
Ответы
Ответ: ДО=24(м)
Объяснение: обозначим вершины основания пирамиды А В С, вершину пирамиды Д, а её высоту ДО. В основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, поэтому АВ=ВС=АС=72м и каждый его угол равен 60°(∠А=∠В=∠С=60°).
Проведём из вершин основания медианы АН и ВК. Медиана является ещё и высотой, поскольку ∆АВС равносторонний. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле: АН=ВН=ВС×√3/2=72√2/2=36√3(м)
Медианы АН и ВК пересекаясь в точке О делятся между собой в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника:
АО: ОН=2:1. Также медиана является ещё и высотой, поскольку треугольник равносторонний
Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х, и зная величину высоты, составим уравнение:
2х+х=36√3
3х=36√3
х=36√3/3
х=12√3(м)
ОН=12√3(м), тогда АО=12√3×2=24√3(м).
Рассмотрим ∆АДО. Он прямоугольный где АО и ДО- катеты, а АД- гипотенуза. Угол ДАО=30°, по условиям, найдём высоту ДО, используя тангенс угла.
Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tgДАО=ДО/АО → ДО=АО×tgДАО=24√3×tg30°=24√3×√3/3=
=24×3/3=24(м)
