Question

Решить уравнение: 2cos2x − 7sinx − 5 = 0. решите пожалуйста подробно прошу

Answer 1

Ответ:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n;(-1)^{k+1} *arcsin\dfrac{3}{4} +\pi k, ~n,k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

$2cos2x-7sinx-5=0.$

Применим формулу косинуса двойного угла

$cos2x=1-2sin^{2} x.$

$2(1-2sin^{2} x)-7sinx-5=0;\\2*1-2*2sin^{2} x-7sinx-5=0;\\2-4sin^{2} x-7sinx-5=0;\\-4sin^{2} x-7sinx-3=0|*(-1);\\4sin^{2} x+7sinx+3=0.$

Пусть $sinx=t, |t|\leq 1.$

Тогда уравнение принимает вид:

$4t^{2} +7t+3=0;\\D=7^{2} -4*4*3=49-48=1>0;\\\\t{_1}=\dfrac{-7-1}{8} =\dfrac{-8}{8} =-1;\\\\t{_2}=\dfrac{-7+1}{8} =\dfrac{-6}{8} =-\dfrac{3}{4} .$

Значит, получим

$1)sinx=-1;\\x=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z}$

$2) sinx=-\dfrac{3}{4} ;\\x=(-1)^{k} *arcsin(-\dfrac{3}{4} )+\pi k, ~k\in\mathbb {Z};\\x=(-1)^{k+1} *arcsin\dfrac{3}{4} +\pi k, ~k\in\mathbb {Z}.$