Найти объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 3см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45º.
Ответы
Ответ: V=2,25см³
Объяснение: в основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Обозначим его вершины А В С, вершину пирамиды Д. Найдём площадь основания по формуле: S=a²√3/4, где а- сторона треугольника.
S=3²√3/4=9√3/4см²
Проведём в основании две медианы АН и ВН1. Они пересекаются в точке 0, которая делит медианы в отношении 2:1, начиная от вершины угла. Так как треугольник равносторонний то медианы также являются высотами треугольника и теперь можно вычислить высоту через площадь основания, следуя формуле площади: S=½×a×h, где а- сторона, а h - высота проведённая к этой стороне:
По формуле обратной формуле площади:
h=9√3/4÷3/½=3√3/4×2=3√3/2см
Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и, зная полную величину высоты, составим уравнение:
2х+х=3√3/2
3х=3√3/2
х=3√3/2÷3
х=√3/2
Итак: ОН=√3/2, тогда АО=√3/2×2=√3см
Рассмотрим ∆АДО. В нём АО и ДО - катеты, а АД- гипотенуза. Если <ДАО=45°, то <АДО=90-45=45° (сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°). Острые углы в основании равны, поэтому ∆ПДО- равнобедренный и АО=ДО=√3см
Теперь найдём объем пирамиды зная площадь основания и высоту пирамиды ДО: V=⅓×Sосн×h=⅓×9√3/4×√3=
=3√3×√3/4=3×3/4=9/4=2,25см³
