Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:s´´= 6t + 2, если s = 3 и s´= 4 при t = 1

Answer 1

$s'' = 6t + 2$

$\displaystyle s' = \int (6t + 2)\, dt = 3t^{2} + 2t + C_{1}$

$s = \displaystyle \int(3t^{2} + 2t + C_{1}) \, dt = t^{3} + t^{2} + C_{1}t + C_{2}$

Из начальных условий $s(1) = 3, \ s'(1) = 4$ имеем:

$\displaystyle \left \{ {{3 = 1^{3} + 1^{2} + C_{1} \cdot 1 + C_{2}} \atop {4 = 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + C_{1} \ \ \ \ \, }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{3 = 1 + 1 + C_{1} + C_{2}} \atop {4 = 3 + 2 + C_{1} \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{C_{1} + C_{2} = 1; \ -1 + C_{2} = 1; \ C_{2} = 2} \atop {C_{1} = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Частное решение:

$s_{0} = t^{3} + t^{2} -t + 2$

Ответ: $s_{0} = t^{3} + t^{2} -t + 2$