Question

Решите комплексное уравнение : z⁴=-√3

Answer 1

$z^4=-\sqrt{3}$

$z=\sqrt[4]{-\sqrt{3} }$

Извлечем корень 4-ой степени из числа $-\sqrt{3}$. Найдем его модуль и аргумент:

$\rho=|z|=\sqrt{3}$

$\varphi=\arg z=\pi$

Для нахождения корней воспользуемся формулой:

$\sqrt[4]{z} =\sqrt[4]{\rho} \left(\cos\dfrac{\varphi+2\pi k}{4} +i\sin\dfrac{\varphi+2\pi k}{4}\right),\ k\in\{0;\ 1;\ 2;\ 3\}$

Вычисляем корни:

$z_0 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot0}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot0}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{\pi}{4} +i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_1 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot1}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot1}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{3\pi}{4} +i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_2 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot2}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot2}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{5\pi}{4} +i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2}-\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_3 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot3}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot3}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{7\pi}{4} +i\sin\dfrac{7\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}-\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

Ответ: $\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i;\ -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i;\ -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i;\ \dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i;$