Question

найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям: xydx=(x+1)*dy y=2 при х=1

Answer 1

Ответ:

$xy\, dx=(x+1)\, dy\\\\\int \dfrac{x\, dx}{x+1}=\int \dfrac{dy}{y}\\\\\\\int \Big(1-\dfrac{1}{x+1}\Big)\, dx=\int \dfrac{dy}{y}\\\\\\x-ln|x+1|=ln|y|+lnC\ \ ,\ \ lne^{x}-ln|x+1|=lny|+lnC\ ,\\\\C\cdot |y|=\dfrac{e^{x}}{|x+1|}\ \ ,\ \ y_{obshee}=\pm \dfrac{e^{x}}{C\cdot |x+1|}\\\\\\y(1)=2:\ \ \ 1-ln2=ln2+lnC\ \ \ \to \ \ \ lnC=1-2ln2=1-ln4=ln\dfrac{e}{4}\\\\\\x-ln|x+1|=ln|y|+ln\dfrac{e}{4}\ \ \to \ \ \ |y|\cdot \dfrac{e}{4}=\dfrac{e^{x}}{|x+1|}\ \ ,\\\\y_{chastnoe}=\pm \dfrac{4\cdot e^{x-1}}{|x+1|}$