Question

Теория вероятности сколько различных натуральных решений имеет уравнение x+y+z+w=8

Answer 1

Очевидно, что раз все числа натуральные, каждое не превосходит 8-1-1-1=5. Значит каждая из переменных может принимать одно из значений 1,2,3,4,5. Используем производящую функцию и найдем коэффициент при $x^8$:$(x^1+x^2+x^3+x^4+x^5)^4=(\dfrac{x*(x^5-1)}{(x-1)})^4=x^4(x^5-1)^4*\dfrac{1}{(x-1)^4}=x^4(x^5-1)^4*(1+\sum\limits_{n=1}^\infty (-x)^n \dfrac{-4(-4-1)...(-4-n+1)}{n!} )=\\ x^4(x^5-1)^4*(1+\sum\limits_{n=1}^\infty (-x)^n (-1)^n\dfrac{4*5*...(n+3)}{n!} )=\\ x^4(x^5-1)^4*\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{1*2*3}x^n=\\ x^4(x^{20} - 4 x^{15} + 6 x^{10} - 4 x^5 + 1)*\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}x^n$$=(x^{24} - 4 x^{19} + 6 x^{14} - 4 x^9 + x^4)*\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}x^n$

Минимальная степень x, входящая в сумму справа - 0. Значит на коэффициент при $x^8$ могут повлиять лишь те одночлены из суммы слева, в которых степень x не больше 8. Такое слагаемое одно, и это $x^4$. Тогда для получения 8ой степени требуется слагаемое из правой части степени 8-4=4. Значит искомый коэффициент равен $a_8=1*\dfrac{(4+1)(4+2)(4+3)}{6}=35$

Ответ: 35