Question

Задано уравнение $\dfrac{a^{3}x - 5a}{2 - a} \cdot \left(\dfrac{2x - 6a + 4}{(4a - 5)(6 - a)} - 8 \right) = 0,$ где $x$ — переменная, $a$ — постоянная.
1. При каких значениях $a$ уравнение не имеет решений?
2. При каком значении $a$ уравнение имеет множество решений?
3. Решите данное уравнение в зависимости от значений $a$.

Answer 1

$\dfrac{a^{3}x - 5a}{2 - a} \cdot \left(\dfrac{2x - 6a + 4}{(4a - 5)(6 - a)} - 8 \right) = 0$

1. Если хотя бы один из знаменателей дробей будет равен нулю, то уравнение не будет иметь смысла.

$\left[\begin{array}{ccc}2 - a = 0, \ \, \\4a - 5 = 0,\\6 - a = 0 \ \, \end{array}\right$

Таким образом, если $a = 2$ или $a = \dfrac{5}{4}$, или $a = 6$, то уравнение не имеет решений.

2. Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

$\displaystyle \left [ {{\dfrac{a^{3}x - 5a}{2 - a} = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {\dfrac{2x - 6a + 4}{(4a - 5)(6 - a)} - 8 = 0}} \right.$

Решим первое уравнение совокупности.

$\dfrac{a^{3}x - 5a}{2 - a} = 0$

$a^{3}x - 5a = 0$

$a^{3}x = 5a$

Если $a = 0$, то имеем уравнение $0x = 0$, решением которого является любое число.

3. Если $a \neq 0$, то $x = \dfrac{5a}{a^{3}} = \dfrac{5}{a^{2}}$

Решим уравнение $\dfrac{2x - 6a + 4}{(4a - 5)(6 - a)} - 8 = 0$

$\dfrac{2x - 6a + 4}{(4a - 5)(6 - a)} = 8$

$2x - 6a + 4 = 8(4a - 5)(6 - a) \ \ \ | : 2$

$x - 3a + 2 = 4(4a - 5)(6 - a)$

$x = 4(4a - 5)(6 - a) + 3a - 2$

Ответ:

$1. \ a = \left\{\dfrac{5}{4}; \ 2; \ 6 \right\}$

$2. \ a =0$

$3.$ Если $a \neq \dfrac{5}{4}, \ a\neq 2, \ a \neq 6,$ то $x_{1} = \dfrac{5}{a^{2}}$ и $x_{2} = 4(4a - 5)(6 - a) + 3a - 2$