Question

ПАМАГИТЕ БРАТЬЯ МОИ РОДНЫЕ
1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: y'=ycosx
2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка: y'+$\frac{2x}{1+x^{2} } y=\frac{2x^{2} }{1+x^{2} }$
3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y"-6y'+13y=0

Answer 1

$1)~ y'=y\cos x\\ \\ \frac{dy}{dx}=y\cos x\\ \\ \int \frac{dy}{y}=\int \cos xdx\\ \\ \ln|y|-\ln C=\sin x\\ \\ y=C\sin x$

2) $y'+\frac{2x}{1+x^2}y=\frac{2x^2}{1+x^2}~~~\Big|\cdot (1+x^2)$

$y'\cdot (1+x^2)+y\cdot 2x=2x^2\\ \\ \Big(y\cdot (1+x^2)\Big)'=2x^2\\ \\ y\cdot (1+x^2)=\int 2x^2dx\\ \\ y\cdot (1+x^2)=\frac{2x^3}{3}+C\\ \\ y=\frac{(2x^3/3)+C}{1+x^2}$

3) Пусть $y=e^{\lambda x}$

$\lambda^2-6\lambda+13=0\\\\ (\lambda-3)^2+4=0\\ \\ \lambda=3\pm 2i$

$y=e^{3x}\cdot \Big(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\Big)$