Question

найдите все целые решения уравнения xy=2(x+y)​

Answer 1

xy = 2(x + y)

xy = 2x + 2y

xy - 2x - 2y = 0

xy - 2x - 2y + 4 = 4

(xy - 2y) - (2x - 4) = 4

y(x - 2) - 2(x - 2) = 4

(x - 2)(y - 2) = 4

x и y - целые числа , значит (x - 2) и (y - 2) - тоже целые числа .

Произведение двух целых чисел равно 4 , рассмотрим варианты :

1 и 4 ; 4 и 1 ; 2 и 2 ; - 1 и - 4 ; - 4  - 1 ; - 2  - 2 .

$1)\left \{ {{x-2}=1 \atop {y-2=4}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=3} \atop {y=6}} \right.\\\\2)\left \{ {{x-2=4} \atop {y-2=1}} \right.\Rightarrow \left \{ {{x=6} \atop {y=3}} \right.\\\\3)\left \{ {{x-2=2} \atop {y-2=2}} \right.\Rightarrow \left \{ {{x=4} \atop {y=4}} \right.\\\\4)\left \{ {{x-2=-1} \atop {y-2=-4}} \right.\Rightarrow \left \{ {{x=1} \atop {y=-2}} \right.\\\\5)\left \{ {{x-2=-4} \atop {y-2=-1}} \right.\Rightarrow \left \{ {{x=-2} \atop {y=1}} \right.$

$6)\left \{ {{x-2=-2} \atop {y-2=-2}} \right.\Rightarrow \left \{ {{x=0} \atop {y=0}} \right.\\\\Otvet:\boxed{(3;6),(6;3),(4;4),(1;-2),(-2;1),(0;0)}$