Question

B11:Найдите такие целые числа n и , m чтобы 7n= 66-3m , а сумма чисел n и m была наименьшей и положительной. В ответ запишите разность большего и меньшего из этих чисел

Answer 1

Сначала решим в целых числах уравнение 7n = 66 - 3m.

7n + 3m = 66.

Подберём частное решение:

63 + 3 = 66,

7·9 + 3·1 = 66,

n₀ = 9; m₀=1,

7n+3m = 66,

7·9 + 3·1 = 66,

Из предпоследнего вычтем последнее:

7·n-7·9 + 3·m-3·1 = 66 - 66,

7·(n-9) + 3·(m-1) = 0,

n-9 = N; m-1 = M,

7N + 3M = 0,

7N = -3M,

Т.к. 7 и 3 взаимно простые числа, то очевидно, что M должно делиться нацело на 7, тогда M = 7t,

7N = -3·7t,

N = -3t,

n - 9 = -3t,

m - 1 = 7t,

n = 9 - 3t,

m = 1 + 7t

Последние два равенства дают решение исходного целочисленного уравнения, где t принимает целые значения.

Сумма n и m тогда равна S = n+m = (9-3t) +(1+7t) = 10 + 4t,

По условию требуется найти наименьшее положительное S.

10 + 4t > 0,

4t > -10,

t > -10/4 = -5/2 = -2,5,

Т.к. t целочисленное то t ≥ -2.

при t = -2.

S = 10 + 4·(-2) = 10 - 8 = 2.

Функция S = 10 + 4t является возрастающей, поэтому при больших значениях t мы получим большее значения суммы. Итак, t = -2.

Тогда

n = 9 - 3·(-2) = 9 + 6 = 15,

m = 1 + 7·(-2) = 1 - 14 = -13.

Разность большего и меньшего из этих чисел = 15 - (-13) = 15+13 = 28.

Ответ. 28.