Question

СРОЧНО Решите уравнение: В ответ запишите количество корней, принадлежащих отрезку $[-\frac{\pi }{2}, 2\pi]$

Answer 1

$\cos^2(\pi-x)=(\cos(\pi-x))^2=\cos^2x.$

$2\cos^2x+7\sin x+2=0;\\\\2(1-\sin^2x)+7\sin x+2=0;\\\\2-2\sin^2x+7\sin x+2=0;\\\\-2\sin^2x+7\sin x+4=0;\\\\2\sin^2x-7\sin x-4=0$

Замена: $\sin x=t, t\in[-1;1]$

$2t^2-7t-4=0;\\\\D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-4)=49+32=81=9^2; \sqrt{D}=9.\\\\t_1=\frac{7+9}{2\cdot2}=\frac{16}{4}>1;\\\\t_2=\frac{7-9}{4}=-\frac{1}{2}$

Обратная замена: $\sin x=-\frac{1}{2}$

Уравнение удобно решить на числовой окружности (рис.), т.к. нужно найти кол-во решений. Имеем две серии корней: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.

Пока мы перемещаемся от левого конца отрезка - точки -п/2 - до правого, т.е. точки 2п (а эта точка совпадает с нулем), мы попадаем в точку -5п/6 единожны, в точку -п/6 - дважды, т.е. корней на отрезке будет 3.

ОТВЕТ: 3.