7.Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6дм, 10дм и 14дм. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 450. Найти объем пирамиды.
Ответы
Ответ:
70 dm3
Объяснение:
V=1/3*S*H - нужно найти высоту пирамиды и площадь основания. (1)
Так как каждое из боковых ребер наклонено к плоскости основания пирамиды под углом 45 градусов, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности радиуса R.
Рассмотрим треугольник АВС , лежащий в основании и найдем R.
AB=6 dm, AC=10 dm, BC=14 dm
Тогда по т. косинусов запишем
196=36+100-2*6*10*cosA
120*cosA=-60
cosA=-1/2
A=120 градусов
Тогда sin A= sqrt(3)/2
Находим R по теореме синусов:
2R=BC/sinA= 14/sqrt(3)*2
R=14/sqrt(3)
Найдем высоту пирамиды:
h=R*tg45= 14/sqrt(3)
Найдем площадь основания по формуле:
S=АВ*AC*sinA/2= 6*10*sqrt(3)/2/2=15*sqrt(3) dm2
Тогда подставивив (1) h и S найдем обьем пирамиды:
V=1/3*15*sqrt(3)*14/sqrt(3)=5*14=70 dm3
Обозначим вершины пирамиды АВС с высотой ДО. Объем пирамиды вычисляется по формуле: V=⅓×Sосн×ДО. Зная все стороны основания найдём его площадь через его полупериметр:
Р=14+10+6=30; Р/2=p=15дм
S=√((p(p-AC)(p-AB)(p-ВС))=
=√((15(15-14)(15-10)(15-6))=√(15×1×5×9)=
=√225=15дм²
S=15дм²
Опишем вокруг основания окружность с точкой О. АО=ВО=СО=R
R=AB×BC×AC/4S=14×10×6/4×15=840/60=
=14дм
Треугольники образуемые радиусами, высотой ДО и боковыми рёбрами - прямоугольные и так как боковые рёбра образуют с основанием угол 45°, то углы при вершине также будут 45°, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, и угол при вершине=90-45=45°, из чего следует что эти треугольники равнобедренные, поэтому радиус R=высоте ДО=14дм.
Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания:
V=⅓×15×14=70дм³
ОТВЕТ: V=70дм³
