Question

Найти интервал сходимости степенного ряда $2x^{2} +2^{2} x^4+...+2^{n+1}x^{2(n+1)}+...$

Answer 1

$2x^{2} + 2^{2}x^{4} + 2^{n+1}x^{2(n+1)} + ... = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$

Имеем степенной ряд. Здесь $u_{n} = 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ и $u_{n+1} = 2^{n+1+1}x^{2(n+1+1)} = 2^{n + 2}x^{2(n+2)}$

Для ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ составим ряд из абсолютных величин:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$

Пусть ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится при заданном значении $x$. Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \right| = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{2^{n + 2}x^{2(n+2)}}{2^{n+1}x^{2(n+1)}} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{2^{n + 1} \cdot 2}{2^{n+1}} \right| = 2|x|^{2} < 1$

Тогда ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится на интервале $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Радиус сходимости: $R = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.

1) Если $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

2) Если $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

Ответ: $\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]$