Question

Найти сумму ряда $\frac{1}{2*4} +\frac{1}{3*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+3)} +...$

Answer 1

Обозначим за $A_{n}$ сумму $\frac{1}{2\times 4}+...+\frac{1}{(n+1)(n+3)}$. Заметим, что $\frac{1}{(n+1)(n+3)}=-\frac{0,5}{n+3}+\frac{0,5}{n+1}$. Поэтому $A_{n}=\frac{1}{2}(\sum\limits_{j=2}^{n+1}\frac{1}{j}- \sum\limits_{j=4}^{n+3}\frac{1}{j})=\frac{1}{2}( \sum\limits_{j=2}^{n+1}\frac{1}{j}- \sum\limits_{j=2}^{n+1}\frac{1}{j}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})$; В итоге $A_{n}=\frac{1}{2}(\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})$; Поэтому $\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}=\frac{5}{12}$