Question

помогите пожалуйста​

Answer 1

Дано : точка О внутри выпуклого четырёхугольника ABCD

           соединена с его вершинами A, B, C, D.

          $\angle AOB=\dfrac{\pi}3;\ \ \ \angle BOC=\dfrac{\pi}6;\\\\\angle COD=\dfrac{3\pi}4;\ \ \ S_{\Delta AOB}=20;\\\\S_{\Delta BOC}=5;\ \ \ S_{\Delta COD}=10\sqrt3$

Найти : $S_{\Delta DOA}-?$

Решение :

Полный угол равен 360°  или  2π  радиан.

$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD=2\pi\\\\\angle AOD=2\pi-\angle AOB-\angle BOC-\angle COD\\\\\angle AOD=2\pi-\dfrac{\pi}3-\dfrac{\pi}6-\dfrac{3\pi}4=\dfrac{24\pi}{12}-\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}-\dfrac{9\pi}{12}\\\\\boldsymbol{\angle AOD=\dfrac{3\pi}4}$

$\sin \angle AOB=\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\\\\\sin \angle BOC=\sin \dfrac{\pi}6=\dfrac 12\\\\\sin \angle COD=\sin \dfrac{3\pi}4=\sin \dfrac {\pi}4=\dfrac {\sqrt2}2\\\\\sin \angle AOD=\sin \dfrac{3\pi}4=\sin \dfrac {\pi}4=\dfrac {\sqrt2}2$

$S_{\Delta}=\dfrac 12\cdot ab\cdot \sin\alpha$   -  формула площади треугольника

$S_{\Delta AOB}=\dfrac 12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB=20\\\\\dfrac 12\cdot OA\cdot OB\cdot \dfrac{\sqrt3}2=20;\ \ \ \boldsymbol{OB=\dfrac{80}{\sqrt3 \cdot OA}}\\\\\\S_{\Delta BOC}=\dfrac 12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin\angle BOC=5\\\\\dfrac 12\cdot OB\cdot OC\cdot \dfrac12=5;\\\\OC=\dfrac{20}{OB}=20:\dfrac{80}{\sqrt3\cdot OA}=\dfrac{20\cdot \sqrt3\cdot OA}{80}\\\\\boldsymbol{OC=\dfrac{\sqrt3\cdot OA}4}$

$S_{\Delta COD}=\dfrac 12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\angle COD=10\sqrt3\\\\\dfrac 12\cdot OC\cdot OD\cdot \dfrac{\sqrt2}2=10\sqrt3\\\\OD=\dfrac{40\sqrt3}{\sqrt 2\cdot OC}=\dfrac{40\sqrt3}{\sqrt 2}:\dfrac{\sqrt3\cdot OA}4=\dfrac{40\sqrt3\cdot 4}{\sqrt 2\cdot \sqrt 3\cdot OA}\\\\\boldsymbol{OD=\dfrac{160}{\sqrt2\cdot OA}}$

$S_{\Delta DOA}=\dfrac 12\cdot OA\cdot OD\cdot \sin\angle AOD=\\\\=\dfrac 12\cdot OA\cdot OD\cdot \dfrac{\sqrt2}2=\dfrac 12\cdot OA\cdot \dfrac{160}{\sqrt2\cdot OA}\cdot \dfrac{\sqrt2}2=40$

Ответ : С) 40

Answer 2

Все же ещё раз выкладываю свое решение, которое было раннее, но немного его сделав компактнее. Как видите, в любом случае нужно использовать формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Ничего короче, как вы хотели, пока нет. Другие тоже смотрели эту задачу и использование данной формулы однозначно, другое дело, что "крутить" её можно по-разнму.