Question

Объясните ОДЗ
Log5(3/x+2)-log5(x+2)<=log5(x+1/x^2)

Answer 1

Ответ.

Аргумент логарифмической функции строго больше 0 .

$log_5\dfrac{3}{x+2}-log_5(x+2)\leq log_5\dfrac{x+1}{x^2}\\\\ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{3}{x+2}>0\\x+2>0\\\dfrac{x+1}{x^2}>0\ ,\ x\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x+2>0\\x>-2\\x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )\end{array}\right\\\\\\\star \ \ \ \dfrac{x+1}{x^2}>0\ \ ,\ \ \ znaki:\ \ ---(-1)+++(0)+++\\\\x\in (-1;0)\cup (0,+\infty )\ \ \star \\\\Otvet:\ \ x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )\ .$

$2)\ \ log_5\Big(\dfrac{3}{x}+2\Big)-log_5(x+2)\leq log_5\dfrac{x+1}{x^2}\\\\ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{3+2x}{x}>0\\x+2>0\\\dfrac{x+1}{x^2}>0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-\dfrac{3}{2})\cup (0;+\infty )\\x>-2\\x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )\end{array}\right\\\\\\x\in (0;+\infty )$

Answer 2

Чтобы найти ОДЗ данного неравенства, надо решить систему следующих неравенств:

(3/х)+2>0

х+2>0

(х+1)/х²>0

Решим первое:  (3+2х)/х)>0 методом интервалов

_______-1.5________0_______________

   +                       -                     +

х∈(-∞;-1.5)∪(0;+∞)

Решим второе: х+2>0⇒х>-2, т.е. х∈(-2;+∞)

Решим третье: (х+1)/х²>0, методом интервалов

___-1______________0_________________

-                         +                        +

х∈(-1;0)∪(0;+∞)

Пересечением трех решений будет ОДЗ, а именно х∈(0;+∞)