Question

n44 Нужна ваша помощь!
Даны числа
$a = {0.6}^{ \frac{1}{3} } \times {1.3}^{ - \frac{2}{5} }$
$b = {0.7}^{ - \frac{2}{3} } \times {0.3}^{ - \frac{1}{5} }$
$c = {1.8}^{ \frac{1}{3} } \times {0.3}^{ - \frac{2}{5} }$
Какие из них больше единицы?

Заранее спасибо за решение!!!!

(в моих вопросах также есть другие нерешенные задания, буду благодарна, если заглянете))

Answer 1

1). Первое число.

Вначале сделаем некоторые упрощения (основные свойства корней и степеней, фактически никаких подсчетов):

$\displaystyle 0,6^{\frac{1}{3} } \cdot 1,3 ^{- \frac{2}{5} } = \sqrt[3]{0,6^1} \cdot \frac{1}{1,3 ^ \frac{2}{5} } = \sqrt[3]{0,6} \cdot \frac{1}{ \sqrt[5]{1,3^2} } = \sqrt[3]{0,6} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{{1,3^2} } } =\\\\= \sqrt[15]{0,6^5} \cdot \sqrt[15]{\frac{1^3}{1,3^6 } } = \sqrt[15]{ \frac{0,6^5}{1,3^6} }$

А теперь можно либо посчитать, что находится под корнем, либо избежать муторных вычислений и сразу сказать, что числитель меньше знаменателя, и дробь меньше единицы. Значит, и корень из такой дроби тоже меньше единицы.

Итог: число $a \approx 0.759$ не подходит.

2). Второе число.

Расписываю менее подробно:

$\displaystyle 0,7^{- \frac{2}{3} } \cdot 0,3^{- \frac{1}{5} } = \sqrt[3]{\frac{1}{0,7^2} } \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{0,3^1} } = \sqrt[15]{\frac{1}{0,7^{10}} } \cdot \sqrt[15]{\frac{1}{0,3^3} } = \sqrt[15]{ \frac{1}{0,7^{10} \cdot 0,3^3} }$

Очевидно, что знаменатель в подкоренном выражении меньше единицы, поэтому само подкоренное выражение больше единицы. И корень больше единицы.

Итог: число $b \approx 1.614$ подходит.

3). Третье число.

И, наконец, последнее число:

$\displaystyle 1,8^{\frac{1}{3} } \cdot 0,3^{-\frac{2}{5} } = \sqrt[3]{1,8} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{0,3^2} } = \sqrt[15]{1,8^5} \cdot \sqrt[15]{\frac{1}{0,3^6} } = \sqrt[15]{ \frac {1,8^5}{0,3^6} }$

Здесь, опять, подкоренное выражение больше единицы (по вполне понятным причинам), так что и сам корень будет больше единицы.

Итог: число $c \approx 1.968$ подходит.

Ответ:  b и c.