Question

Помогите с решением, желательно подробно, можно одно из неравенств

Answer 1

$8.58. \ 4^{x} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

$(2^{x})^{2} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

Замена: $2^{x} = t, \ t > 0$

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a < 0$

Имеем квадратичную функцию $f(t) = t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a$, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем возможные точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Для этого решим квадратное уравнение:

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a = 0$

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = (2a + 1)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + a) = 4a^{2} + 4a + 1 - 4a^{2} - 4a = 1$

Имеем $D = 1 > 0$, значит данное уравнение имеет ровно 2 корня:

$t_{1} = \dfrac{(2a + 1) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 + 1}{2} = a + 1$

$t_{2} = \dfrac{(2a + 1) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 - 1}{2} = a$

Имеем две точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Пусть $t_{1} < t_{2}$. Тогда $a + 1 < a; \ 1 < 0$. Имеем неверное неравенство. Следовательно, при всех значениях параметра $a$ имеем $t_{1} > t_{2}$.

Тогда квадратичная функция $f(t)$ будет меньше 0 при $t \in (t_{2}; \ t_{1})$

Последнее можно записать так:

$\displaystyle \left \{ {{t > t_{2}} \atop {t < t_{1}}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{t > a \ \ \ \ \ } \atop {t < a + 1}} \right.$

Обратная замена:

$\displaystyle \left \{ {{2^{x} > a \ \ \ \ \ } \atop {2^{x} < a + 1}} \right.$

Если $a \leq -1$, то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R}} \atop {x \in \varnothing }} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x \in \varnothing$

Если $-1<a \leq 0$, то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x < \log_{2}(a+1)$

Если $a > 0$, то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x > \log_{2}a \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является интервал $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1))$

Ответ:

• если $a \in (-\infty; \ -1]$, то нет корней;
• если $a \in (-1; \ 0]$, то $x \in (-\infty; \ \log_{2}(a+1));$
• если $a \in (0; \ +\infty)$, то $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1)).$