Question

При каких значениях параметра а точка х0 =2 является точкой максимума функции?
Если значений несколько, то запишите их в порядке возрастания через пробел ​

Answer 1

Точка $x_0$ является точкой максимума, если выполняются два условия: 1) $f'(x_0)=0;$ 2) $f''(x_0)<0$.

Первая производная:

$f'(x)=(\frac{ax^3}{3}-3ax^2+a^2x)' =\frac{3ax^2}{3}-3\cdot2ax+a^2=ax^2-6ax+a^2.$

Вторая производная:

$f''(x)=(f'(x))'=(ax^2-6ax+a^2)'=2ax-6a+0=2ax-6a.$

Решаем систему:

$\left \{ {{f'(2)=0,} \atop {f''(2)<0}} \right. \left \{ {{4a-12a+a^2=0;} \atop {4a-6a<0}} \right. \left \{ {{a^2-8a=0,\ \atop {-2a<0}} \right. \left \{ {{a(a-8)=0} \atop {a>0}} \right.$

Первая строка дает два корня: a = 0 и a = 8. Только a = 8 является решением неравенства, поэтому это и есть искомое и единственное значение параметра.

ОТВЕТ: a = 8.