Question

При всех a решите неравенство 9^(x+1)+8a*3^x-a^2>0

Answer 1

$9\cdot9^x+8a\cdot3^x-a^2>0$

Пусть $t=3^x>0$

$9t^2+8at-a^2>0$

По теореме Виета $\begin{cases}t_1+t_2=-\dfrac{8a}{9}\\t_1t_2=-\dfrac{a^2}{9}\end{cases}\Rightarrow t=-a; \dfrac{a}{9}$

Тогда $(t+a)(9t-a)>0$

Если a > 0, то t + a > 0, так как t > 0. Значит, на (t + a) можно разделить:

$9t-a>0 \Leftrightarrow t>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow 3^x>\dfrac{a}{9} \Leftrightarrow x > \log_3{\dfrac{a}{9}}\Leftrightarrow x>\log_3{a}-2$

Если a = 0, то $9t^2>0$, но t > 0, поэтому это верно всегда.

Если a < 0, то 9t - a > 0, так как t > 0, -a > 0. На 9t - a можно разделить:

$t+a>0 \Leftrightarrow 3^x>-a \Leftrightarrow x>\log_3{(-a)}$

Ответ: $x>\log_3{a}-2$ при a > 0; $x\in\mathbb{R}$ при a = 0; $x>\log_3{(-a)}$ при a < 0