Question

$x {}^{2} y {}^{2} + x {}^{2} + y {}^{2} - 14xy + 2x - 2y + 37 = 0$
найти все возможные пары (x,y)​

Answer 1

Пусть $u=x-y$ и $xy=v$

$v^2+u^2-12v+2u+37=0\\ \\ v^2-12v+36+u^2+2u+1=0\\ \\ (v-6)^2+(u+1)^2=0$

Уравнение равно нулю в том случае, когда обе слагаемые обращаются к нулю

$v=6\\ u=-1$

Делаем обратную замену

$\displaystyle \left \{ {{x-y=-1} \atop {xy=6}} \right.~\Rightarrow~\left \{ {{x=y-1} \atop {y(y-1)=6}} \right.\\ \\ y^2-y-6=0\\ \\ y_1=-2\\ \\ y_2=3$

$x_1=y_1-1=-3\\ \\ x_2=y_2-1=3-1=2$

Ответ: (-3;-2), (2;3).

Answer 2

х*у=с

х-у=а⇒(х-у)²=а²; х²+у²-2ху=а²⇒х²+у²=2ху+а²=2с+а²

с²+а²+2с-14с+2а+37=0

с²+а²-12с+2а+37=0

(с-6)²+(а²+2а+1)=0

(с-6)²+(а+1)²=0

Сумма квадратов равна нулю, если с=6, а=-1

ху=6; х-у=-1

х=у-1 подставим в первое уравнение.  получим у*(у-1)=6

у²-у-6=0⇒

По Виета у=3; у=-2.

Если у=3, то х=2

Если у=-2, то х=-3

Две пары (-3;-2); (2;3)