Question

Решите уравнение. Найдите его корни, принадлежащие отрезку.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$sinx=\sqrt{\dfrac{1-cosx}{2}}$

Преобразуем выражение:

$\dfrac{2tg\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{1-tg^2\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}}}{2}}$

Теперь можно заменить $tg\dfrac{x}{2}$ на t:

$\dfrac{2t}{1+t^2}=\sqrt{\dfrac{t^2}{1+t^2}}$

Решим это уравнение:

$2t\sqrt{1+t^2}=|t|(1+t^2)\\2t\sqrt{1+t^2}-|t|(1+t^2)=0\\\sqrt{1+t^2}(2t-|t|\sqrt{1+t^2})=0$

Знаем, что произведение равно 0, если хотя бы 1 из его множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Тогда:

$\sqrt{1+t^2}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\2t-|t|\sqrt{1+t^2}=0\;\;\;\,(2)$

Рассмотрим первое уравнение:

$\sqrt{1+t^2}=0$

Выражение равно 0, если подкоренное выражение равно 0.

Тогда:

$1+t^2=0\\t^2=-1$

У уравнения нет корней.

Рассмотрим второе уравнение:

$2t-|t|\sqrt{1+t^2}=0$

Раскроем модуль:

$2t-t\sqrt{1+t^2}=0,\;\;t\ge0\\t(2-\sqrt{1+t^2})=0\\\\t=0\\\\2-\sqrt{1+t^2}=0\\\sqrt{1+t^2}=2$

Поскольку обе части положительны, можно возводить их в квадрат:

$1+t^2=4\\t=\pm\sqrt{3}$

Т.к. $t\ge0$, - корень из 3 не подходит.

При t<0:

$t(2+\sqrt{1+t^2})=0\\t=0\\\\\sqrt{1+t^2}=-2$

Подкоренное выражение не может быть равно -2, поэтому уравнение корней не имеет.

Т.к. t<0, то корень 0 посторонний.

Итого:

$t=0\\t=\sqrt{3}$

Выполним обратную замену:

$t=0\\tg\dfrac{x}{2}=0\\x=2n\pi.\;n\in Z\\\\t=\sqrt{3}\\tg\dfrac{x}{2}=\sqrt{3}\\x=\dfrac{2\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z$

Уравнение решено!

Перейдем к отбору корней:

$2\pi,\;\dfrac{8\pi}{3}$

Отбор корней выполнен!