Question

Решить уравнение $2log{_{4}}^{2} x - log_{4} x^{13} =7$ . В ответе указать наименьший корень уравнения

Answer 1

$2 {log_{4}}^{2} (x) - log_{4}( {x}^{13} ) = 7 \\ 2 {log_{4}}^{2} (x) - 13log_{4}(x) - 7 = 0$

Заменяем log4(x) на t:

$2 {t}^{2} - 13t - 7 = 0 \\ d = {13}^{2} + 4 \times 7 \times 2 = 169 + 56 = 225 = {15}^{2} \\ t1 = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7 \\ t2 = \frac{13 - 15}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$

Делаем обратную замену:

$log_{4}(x) = 7 \\ x1 = {4}^{7} = 16384$

$log_{4}(x) = - \frac{1}{2} \\ x2 = {4}^{ - \frac{ 1}{2} } = \frac{1}{ \sqrt{4} } = \frac{1}{2}$

Самый наименьший корень 1/2

Ответ : 1/2