Question

математика СРОЧНО
помогите, пожалуйста ​

Answer 1

$3. \ \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x+2}{2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} } = \left(1^{\infty} \right) = \lim_{x \to 1} \left(1 + \dfrac{x+2}{2x + 1} - 1\right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} } =$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(1 + \dfrac{1-x}{2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} } = \lim_{x \to 1} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2x + 1}{1 - x} } \right)^{\dfrac{2x + 1}{1 - x} \cdot \dfrac{1 - x}{2x + 1} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} } =$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} e^{\dfrac{1 - x}{(2x + 1)(\sqrt{x} - 1)} } = e^{\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{1 - x}{(2x + 1)(\sqrt{x} - 1)}}$

$\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{1 - x}{(2x + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \left(\frac{0}{0} \right) = \lim_{x \to 1}\frac{(1 - x)(\sqrt{x} + 1)}{(2x + 1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} =$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} -\dfrac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(2x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} -\dfrac{\sqrt{x} + 1}{2x + 1} = -\dfrac{\sqrt{1} + 1}{2 \cdot 1 + 1} =-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x+2}{2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} } = e^{-\dfrac{2}{3} } = \dfrac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$

$9. \ \displaystyle \int \frac{3x^{3} - 4x^{2} - x}{(x+2)(x-4)} \, dx$

Имеем неправильную дробь. Выделим целую часть, поделив числитель $(3x^{3} - 4x^{2} - x)$ на знаменатель $(x^{2} - 2x - 8)$ этой дроби.

$\displaystyle \int \frac{3x^{3} - 4x^{2} - x}{(x+2)(x-4)} \, dx = \int \left(3x + 2 + \frac{27x + 16}{(x+2)(x-4)} \right) \, dx =$

$=\displaystyle \int 3x \, dx + \int 2 \, dx + \int \frac{27x + 16}{(x+2)(x-4)} \, dx$

$1) \ \displaystyle \int 3x \, dx = \dfrac{3}{2}x^{2} +C$

$2) \displaystyle \int 2 \, dx = 2x + C$

$3) \ \displaystyle \int \frac{27x + 16}{(x+2)(x-4)} \, dx$

Распишем данную правильную дробь в виде суммы простейших дробей. Для каждого множителя в знаменателе запишем новую дробь, используя множители в качестве новых знаменателей. Числители будем считать неизвестными:

$\displaystyle\frac{27x + 16}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 4}$

$27x + 16 = A(x-4) + B(x+2)$

$27x + 16 = Ax - 4A + Bx + 2B$

$27x + 16 = (A+B)x + (-4A + 2B)$

$\displaystyle \left \{ {{-4A + 2B = 16} \atop {A + B = 27 \ \ \ \ \ }} \right.$

$A = \dfrac{19}{3}; \ B = \dfrac{62}{3}$

$\displaystyle \int \frac{27x + 16}{(x+2)(x-4)} \, dx = \int \left(\frac{19}{3(x+2)} + \frac{62}{3(x-4)} \right) \, dx =$

$= \displaystyle \int \frac{19}{3(x+2)}\, dx + \int \frac{62}{3(x-4)} \, dx = \frac{19}{3} \int \frac{d(x+2)}{x+2} + \frac{62}{3}\int \frac{d(x-4)}{x-4} =$

$= \dfrac{19}{3}\ln |x+2| + \dfrac{62}{3} \ln |x-4| + C$

Таким образом,

$\displaystyle \int \frac{3x^{3} - 4x^{2} - x}{(x+2)(x-4)} \, dx = \frac{3}{2} x^{2} + 2x + \frac{19}{3}\ln |x+2| + \frac{62}{3}\ln |x-4| + C$