Question

Найти точки перегиба графика функции y=e^(1/x)

Answer 1

$y=e^\frac{1}{x}$

Найдем вторую производную функции:

$y'=e^\frac{1}{x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)'=e^\frac{1}{x} \cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-e^\frac{1}{x} x^{-2}$

$y''=-\left(\left(e^\frac{1}{x}\right)' \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot(x^{-2})'\right)=\\=-\left(e^\frac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot(-2x^{-3})\right)=\\=e^\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2}\right) \cdot x^{-2}+e^\frac{1}{x}\cdot2x^{-3}=e^\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{2}{x^3}\right) =e^\frac{1}{x}\cdot\dfrac{1+2x}{x^4}$

Вторая производная обращается в ноль при $1+2x=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

Вторая производная не существует при $x=0$

Рассмотрим знаки второй производной (картинка).

Как видно, при переходе через точку $x=-\dfrac{1}{2}$ вторая производная меняет знак. Значит, это и есть точка перегиба.

Ответ: -1/2