Question

2sin^2x-3sinxcosx-8cos^2 x=0 найдите корни уравнения, которые принадлежат отрезку [0, π/2].

Answer 1

Ответ:arctg(3+√73)/4+nπ, arctg(3-√73)/4+nπ,где n∈Z ;    arctg(3+√73/)/4

Пошаговое объяснение:2sin²x-3sinxcosx-8cos² x=0 Это уравнение однородное, второй степени. Разделим обе части уравнения на Cos²x≠0, т.е. х≠π/2+nπ, где n∈Z. Тогда получим уравнение:         2tg²x-3tgx-8=0. Пусть tgx=y ⇒2y²-3y-8=0, дискриминант D= 9+64=73  Значит у₁= (3+√73)/4;   у₂=(3-√73)/4     Поэтому tgx=(3±√73)/4 ⇒ x₁=arctg(3+√73)/4+nπ, x₂=arctg(3-√73)/4+nπгде n∈Z .    

По условию 0≤х≤π/2,  значит  отберём корни уравнения с помощью неравенства: 0≤arctg(3±√73)/4+nπ ≤π/2

По определению арктангенса имеем, что -π/2<arctga<π/2

1) 0 < arctg(3+√73)/4<π/2      

2)  arctg(3-√73)/4=-arctg(√73-3)/4⇒    -π/2<arctg(3-√73)/4<0

если n=1, то корни не принадлежат [0;π/2]: 0+π≤arctg(3+√73/)/4+π<π/2+π

-π/2+π<arctg(3-√73)/4<0+π    

если n= -1, то корни не принадлежат [0;π/2]:                                                                   0-π≤arctg(3+√73/)/4-π<π/2-π

-π/2-π<arctg(3-√73)/4-π <0-π  

если n=0, то корни  принадлежат [0;π/2]: 0≤arctg(3+√73/)/4+0<π/2

корень arctg(3+√73/)/4 принадлежит [0;π/2]