Question

решите....!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{2019}{2020!} +\dfrac{1}{2020!}=\left(\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{2019}{2020!}\right)+\dfrac{1}{2020!}$

Так как все слагаемые, кроме последнего, имеют одинаковую структуру, то найдем сначала их сумму. Для этого просчитаем первые несколько частичных сумм (сумма первых двух слагаемых, первых трех и так далее):

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!}=\dfrac{3}{3\cdot2!} +\dfrac{2}{3!}=\dfrac{3+2}{3!} =\dfrac{5}{3!} =\dfrac{3!-1}{3!}$

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}=\dfrac{3!-1}{3!} +\dfrac{3}{4!}=\dfrac{4(3!-1)+3}{4!}=\dfrac{4\cdot3!-4+3}{4!}=\dfrac{4!-1}{4!}$

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\dfrac{4}{5!}=\dfrac{4!-1}{4!} +\dfrac{4}{5!}=\dfrac{5(4!-1)+4}{5!}=\dfrac{5\cdot4!-5+4}{5!}=\dfrac{5!-1}{5!}$

Таким образом, можно сделать предположение, что верна формула:

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{n-1}{n!} =\dfrac{n!-1}{n!}$

Докажем ее с помощью метода математической индукции.

1. Проверим правильность формулы при $n=2$:

$\dfrac{1}{2!} =\dfrac{2!-1}{2!}$

Левая и правая часть равны $\dfrac{1}{2}$, значит в этом случае формула верна.

2. Предположим, что при $n=k$ верна формула:

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{k-1}{k!} =\dfrac{k!-1}{k!}$

3. Докажем, что при $n=k+1$ формула также будет верна:

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{k-1}{k!}+\dfrac{k}{(k+1)!} =\dfrac{k!-1}{k!}+\dfrac{k}{(k+1)!} =$

$=\dfrac{(k+1)(k!-1)}{(k+1)\cdot k!}+\dfrac{k}{(k+1)!} =\dfrac{(k+1)(k!-1)}{(k+1)!}+\dfrac{k}{(k+1)!} =$

$=\dfrac{(k+1)(k!-1)+k}{(k+1)!}=\dfrac{k\cdot k!-k+k!-1+k}{(k+1)!}=\dfrac{k\cdot k!+k!-1}{(k+1)!}=$

$=\dfrac{(k+1)\cdot k!-1}{(k+1)!}=\dfrac{(k+1)!-1}{(k+1)!}$

Действительно, формула верна. Воспользуемся ею при $n=2020$:

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{2019}{2020!} =\dfrac{2020!-1}{2020!}$

Возвращаясь к исходному выражению и зная значение суммы всех слагаемых, кроме последнего, найдем искомую сумму:

$\dfrac{1}{2!} +\dfrac{2}{3!} +\dfrac{3}{4!} +...+\dfrac{2019}{2020!} +\dfrac{1}{2020!}=\dfrac{2020!-1}{2020!}+\dfrac{1}{2020!}=$

$=\dfrac{2020!-1+1}{2020!}=\dfrac{2020!}{2020!}=1$

Ответ: 1