Question

Дана функция y=(㏑x+1)/(x+1) и значение x0=1 Найти уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. Построить графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х0, f(х0)).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y=\frac{lnx+1}{x+1} ;x_0=1.\\y(1)=\frac{ln1+1}{x+1}=\frac{0+1}{2} =\frac{1}{2}.\\ y'=(\frac{lnx+1}{x+1})'=\frac{(lnx+1)'*(x+1)-(lnx+1)*(x+1)')}{(x+1)^2} =\frac{\frac{x+1}{x} -lnx-1}{(x+1)^2}=\\=\frac{x+1-x*lnx-x}{x*(x+1)^2} =\frac{1-x*lnx}{x*(x+1)^2} .\\y'(1)=\frac{1-1*ln1}{1*(1+1)^2}=\frac{1-1*0}{1*(1+1)^2}=\frac{1}{2^2} =\frac{1}{4} .\\ y_k=\frac{1}{2} +\frac{1}{4}*(x-1)=\frac{1}{2} +\frac{x}{4}-\frac{1}{4}=\frac{x}{4}+\frac{1}{4}.\\ y_k=\frac{x}{4}+0,25 .$

$y_n=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{\frac{1}{4} }=\frac{1}{2}-4*(x-1)}=\frac{1}{2}-4x+4}=4\frac{1}{2}-4x.\\y_n=4,5-4x.$

yk - зелёный, yn - синий, y - красный.