Question

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему числу; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала

Answer 1

Первые три члена ряда: $\dfrac{2x}{9},~ \dfrac{x^2}{12},~\dfrac{4x^3}{135}$

Радиус сходимости $R=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n+1}{3^n(n+2)}\cdot \dfrac{3^{n+1}(n+3)}{n+2}=3$

$|x|<3\\ \\ -3<x<3$

Ряд сходится при всех $x$, принадлежащих интервалу $(-3;3)$.

Исследуем теперь сходимость ряда на концах этого интервала.

Если $x=-3$, то $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(n+1)\cdot (-3)^n}{3^n(n+2)}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(-1)^{n}(n+1)}{n+2}$ и этот ряд является расходящимся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости ряда $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\ne 0$. Следовательно, $x=-3$ — точка расходимости

Если $x=3$, то $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(n+1)3^n}{3^n(n+2)}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{n+1}{n+2}$  является расходящимся по необходимому признаку сходимости ряда. Т.е., $x=3$ — точка расходимости

Заключение: данный степенной ряд сходится абсолютно при $x \in (-3;3).$