Question

Дан параллелограмм ABCD. На сторонах BC и CD взяты соответственно точки M и N так, что CM : MB = 2 : 1 и
CN : ND = 2 : 1. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь параллелограмма ABCD равна 54

Answer 1

Проведём диагонали AC и BD. Диагональ параллелограмма делит на два равных треугольника и их площади равны: $S_{BDC}=S_{ABD}=54/2=27$ и $S_{ACD}=S_{ABC}=54/2=27$. Пусть $CN=2x;~ CN=x$ и $BM=y;~ CM=2y$. Тогда

$\dfrac{S_{BDC}}{S_{MCN}}=\dfrac{3y\cdot 3x}{2y\cdot 2x}=\dfrac{9}{4}$ откуда $S_{MCN}=12$.

$\dfrac{S_{ACD}}{S_{AND}}=\dfrac{3x\cdot 3y}{x\cdot 3y}=3$ откуда $S_{AND}=9$

$\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{3x\cdot y}{3x\cdot 3y}$ откуда $S_{ABM}=9$

$S_{AMN}=S_{ABCD}-S_{MCN}-S_{AND}-S_{ABM}=24$ — ответ.