Question

Функция φ(x,y) имеет вид φ=λsinx+2y (λ = const).
не могли бы дать решение хотя бы на один из вопросов
а) Найти компоненты вектора gradφ.
б) Найти проекцию вектора gradφ на направление, задаваемого вектором n с компонентами {−3/5,0,−4/5}.
в) Вычислить div(gradφ).
г) Вычислить оператор Лапласа от φ.

Answer 1

$1) \ \overrightarrow{grad }\varphi=\{\varphi'_x; \varphi'_y\}=\{\lambda cosx; 2\}$

или

$\overrightarrow{grad }\varphi=\{\varphi'_x; \varphi'_y; \varphi'_z\}=\{\lambda cosx; 2; 0\}$

$2) \vec{n}=\{-\frac{3}{5}; 0; -\frac{4}{5} \}$

$\Pi p_{\vec{n}}\overrightarrow{grad }\varphi=\frac{(\overrightarrow{grad }\varphi, \vec{n})}{|\vec{n}|} \\ \\ (\overrightarrow{grad }\varphi, \vec{n})=\left((\lambda cosx; 2; 0),(-\frac{3}{5} ; 0; -\frac{4}{5} )\right)=-\frac{3\lambda cosx}{5} +2*0+0*\left( -\frac{4}{5} \right)=\\ \\ =-\frac{3\lambda cosx}{5} \\ \\|\vec{n}|=\sqrt{\left( -\frac{3}{5} \right)^2+0^2+\left( -\frac{4}{5} \right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25} +\frac{16}{25} } =1 \\ \\ \Pi p_{\vec{n}}\overrightarrow{grad }\varphi=-\frac{3\lambda cosx}{5}$

$3) \ div(\overrightarrow{grad}\varphi)=(\varphi'_x)'_x+ (\varphi'_y)'_y+ (\varphi'_z)'_z=\varphi''_{xx}+ \varphi''_{yy}+\varphi''_{zz}=\\ \\ =-\lambda sinx+ 0+0= -\lambda sinx$

$\Delta(\varphi)=\varphi''_{xx}+ \varphi''_{yy}+\varphi''_{zz}=-\lambda sinx+ 0+0= -\lambda sinx$