Question

Помогите, пожалуйста, решить предел.

Answer 1

При х стремящемся к единице (1-х) стремится к нулю. сделаем замену

у=(1-х), тогда πх/2=π(1-у)/2; tgπx/2=tgπ(1-у)/2=ctg(πy/2)

$\lim_{y \to 0\ y/tg\pi y/2$=y/(πy/2)=2/π

По Лопиталю получаем такой же ответ.

Answer 2

Ответ:

$\lim\limits _{x \to 1}\, (1-x)\cdot tg\dfrac{\pi x}{2}=[\ 0\cdot \infty \ ]=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{1-x}{\frac{1}{tg\frac{\pi x}{2}}}=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{1-x}{ctg\frac{\pi x}{2}}=\Big[\dfrac{0}{0}\ ,\ Lopital\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{-1}{-\frac{1}{sin^2\frac{\pi x}{2}}\cdot \frac{\pi}{2}}=\lim\limits _{x \to 1}\dfrac{2\cdot sin^2\frac{\pi x}{2}}{\pi }=\dfrac{2\cdot 1^2}{\pi }=\dfrac{2}{\pi }$